미지의 좌표와 그래프 심층 탐구

문제

좌표평면 위의 원점 O$(0,0)$과 제1사분면에 있는 점들을 대상으로 다음 조건들을 만족하는 $y=\frac{m}{x}$ 그래프의 상수 $m$의 값을 구하시오. (단, $a, k, m$은 자연수이다.)

1. 직선 $y=ax$와 곡선 $y=\frac{k}{x}$는 제1사분면에서 한 점 P에서 만난다. 점 P의 좌표는 $(x_P, y_P)$이며, $x_P$와 $y_P$는 정수이다.
2. 점 P를 한 꼭짓점으로 하고, 다른 꼭짓점들이 $(0,0)$, $(x_P, 0)$, $(0, y_P)$인 직사각형의 넓이는 36이다.
3. 선분 OP (원점 O와 점 P를 잇는 선분) 위에는 원점 O와 점 P를 제외하고 정확히 5개의 정수 좌표를 갖는 점이 존재한다.
4. 점 Q는 직선 $y=ax$ 위에 있으며, 점 R은 곡선 $y=\frac{m}{x}$ 위에 있다. 두 점 Q와 R의 $x$좌표는 $x_P + 2$이다.
5. 선분 QR의 길이는 10이다.