두 정비례/반비례점과 직사각형 넓이의 최대

문제

좌표평면 위에 두 점 $P(x_1, y_1)$과 $Q(x_2, y_2)$가 있습니다. 점 $P$는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 있고, 점 $Q$는 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 있습니다.

여기서 $a$는 $1 \le a \le 9$인 한 자리 자연수이고, $b$는 $10 \le b \le 99$인 두 자리 자연수입니다. 두 점 $P$와 $Q$는 모두 제1사분면에 위치하며, $x_1, y_1, x_2, y_2$는 모두 자연수입니다.

점 $P$와 $Q$의 좌표는 특별한 관계를 만족합니다: $x_1 = y_2$ 이고 $y_1 = x_2$ 입니다.

원점 $O(0,0)$과 점 $P(x_1, y_1)$을 두 꼭짓점으로 하고, 변이 좌표축에 평행한 직사각형의 넓이를 $A_P$라고 합시다. 마찬가지로 원점 $O(0,0)$과 점 $Q(x_2, y_2)$를 두 꼭짓점으로 하고, 변이 좌표축에 평행한 직사각형의 넓이를 $A_Q$라고 합시다.

이때, $A_P = A_Q$를 만족한다고 할 때, 이 넓이의 최댓값은 얼마입니까?