좌표평면 위의 두 그래프와 영역의 넓이, 그리고 정수점 문제

문제

좌표평면의 제1사분면($x>0, y>0$)에 정의된 정비례 관계 $y=ax$의 그래프와 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프가 있습니다. 상수 $a, b$는 양의 유리수입니다.

다음 조건들을 만족시킬 때, $N_P + N_Q$의 값을 구하시오.

(가) 두 그래프가 만나는 점을 $A(x_A, y_A)$라 할 때, $x_A$와 $y_A$는 자연수입니다. (나) 원점 $O$, 점 $A$, 그리고 점 $A$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발로 이루어지는 직사각형의 넓이는 36입니다. (다) 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 점 $P(x_P, y_P)$가 존재합니다. $P$는 $A$와 다른 점이며, $x_P$와 $y_P$는 자연수입니다. 원점 $O$, 점 $P$, 그리고 점 $P$에서 $x$축과 $y$축에 내린 수선의 발로 이루어지는 직사각형의 넓이는 144입니다. (라) 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 점 $Q(x_Q, y_Q)$가 존재합니다. $Q$는 $A$와 다른 점이며, $x_Q$와 $y_Q$는 자연수입니다.

점 $P(x_P, y_P)$의 $x$좌표 $x_P$ 중에서 (다) 조건을 만족시키는 서로 다른 자연수 $x_P$의 개수를 $N_P$라 하고, 점 $Q(x_Q, y_Q)$의 $x$좌표 $x_Q$ 중에서 (라) 조건을 만족시키는 서로 다른 자연수 $x_Q$의 개수를 $N_Q$라 할 때, $N_P + N_Q$의 값을 구하시오.