고난도 좌표평면과 그래프 - 상수 추론 문제

문제

좌표평면 위에 원점 O가 있고, 두 함수 $y=ax$ (정비례)와 $y=\frac{b}{x}$ (반비례)의 그래프가 있습니다. 여기서 $a, b$는 모두 양의 상수입니다. 점 P는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 있고, 점 Q는 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 있으며, 두 점 P와 Q는 모두 제1사분면에 있습니다.

다음 네 가지 조건을 모두 만족할 때, 상수 $a$와 $b$의 합 $a+b$의 값을 구하시오.

(가) 점 P의 x좌표를 $p$라 할 때, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 R이라 하자. 이때, 삼각형 $\triangle OPR$의 넓이는 $20$이다. (나) 점 Q의 x좌표는 점 P의 x좌표 $p$의 $\frac{1}{2}$배이다. (다) 점 Q의 y좌표는 점 P의 y좌표보다 $2$만큼 더 크다. (라) 점 Q와 x축, y축, 그리고 원점 O로 둘러싸인 직사각형의 넓이는 $40$이다.