좌표평면 위 정사각형 내부의 반비례 그래프 정수점 개수

문제

좌표평면에서 자연수 $k$에 대하여 네 점 $(0,0)$, $(k,0)$, $(k,k)$, $(0,k)$를 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 $S$라고 하자. 자연수 $A$에 대해 반비례 관계 $y = \\frac{A}{x}$의 그래프가 $S$의 내부에 존재하는 정수점 $(x,y)$를 정확히 6개 지난다고 한다. 이때, 이러한 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 $k$를 $k_A$라고 하자. $k_A \\le 20$을 만족하는 모든 자연수 $A$ 값의 합을 구하시오.

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