정비례/반비례 함수 위의 점과 삼각형 넓이 문제

문제

좌표평면 위에서 두 함수 $y = ax$와 $y = \frac{b}{x}$가 있다. ($a, b$는 양의 정수) 점 $P(x_P, y_P)$는 함수 $y=ax$의 그래프 위에 있고, 점 $Q(x_Q, y_Q)$는 함수 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 있다. 두 점 $P$와 $Q$는 모두 제1사분면에 있으며, 그 좌표는 모두 정수이다. 다음 조건을 만족할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

(가) 점 $P$의 x좌표와 점 $Q$의 y좌표가 같다. 즉, $x_P = y_Q$. (나) 점 $P$의 y좌표와 점 $Q$의 x좌표가 같다. 즉, $y_P = x_Q$. (다) 원점 $O(0,0)$과 두 점 $P, Q$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OPQ$의 넓이는 240이다. (단, $P$와 $Q$는 서로 다른 점이다.)