세 함수 그래프 위의 점들로 이루어진 도형의 비밀

문제

좌표평면의 제1사분면에 세 함수 $y = \frac{k}{x}$, $y = \frac{m}{x}$, $y = ax$ 의 그래프가 있다. (단, $k, m, a$는 양의 상수) 이 세 함수 그래프 위에 다음과 같은 조건을 만족하는 세 점 P, Q, R이 있다.

• 점 P는 $y = \frac{k}{x}$ 위에 있고, P의 좌표는 $(p, y_P)$ 이다.
• 점 Q는 $y = \frac{m}{x}$ 위에 있고, Q의 좌표는 $(p, y_Q)$ 이다.
• $y_P$와 $y_Q$는 모두 양의 정수이며, $p$는 $y_P$와 $y_Q$가 모두 정수가 되도록 하는 $x$값 중 가장 작은 양의 짝수이다.
• 점 R은 $y = ax$ 위에 있고, R의 좌표는 $(r, y_R)$ 이다. $y_R$은 양의 정수이다.

다음 조건들을 모두 만족할 때, $k+m+3a$의 값은?

1. $k > m$ 이다.
2. 세 점 P, Q, R로 이루어진 삼각형 $\triangle PQR$의 넓이는 15이다.
3. 점 R의 x좌표 $r$은 점 P의 x좌표 $p$의 $\frac{3}{2}$배이다. 즉, $r = \frac{3}{2}p$ 이다.
4. $y_P \times y_Q = 4k$ 이다.
5. $y_R = \frac{y_P + y_Q}{2}$ 이다.