좌표평면 위 두 함수의 숨겨진 관계와 넓이

문제

좌표평면 위에 두 함수 $y=ax$ 와 $y=\frac{b}{x}$ 의 그래프가 있다. 이때, $a, b$는 자연수이다.

점 $A(x_A, y_A)$ 는 함수 $y=ax$ 의 그래프 위의 점이고, 점 $B(x_B, y_B)$ 는 함수 $y=\frac{b}{x}$ 의 그래프 위의 점이다. 두 점 $A$와 $B$는 모두 제1사분면에 있으며, 다음 조건을 만족한다.

(가) $x_A$ 와 $x_B$ 는 자연수이고, $x_B = x_A + 1$ 이다. (나) $y_A = y_B = k$ 이고, $k$ 는 자연수이다.

원점 $O(0,0)$ 와 점 $P_1(x_B, 0)$, 점 $P_2(x_B, k)$, 점 $P_3(0, k)$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $R$이라 하고, 원점 $O(0,0)$ 와 점 $A(x_A, k)$, 점 $B(x_B, k)$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $T$라고 하자. 이때, 직사각형 $R$의 넓이에서 삼각형 $T$의 넓이를 뺀 값이 25일 때, $a+b$의 값은?