좌표평면 위의 두 점과 비례 함수의 관계

문제

좌표평면의 제1사분면에 점 $\text{P}(x_P, y_P)$는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 있고, 점 $\text{Q}(x_Q, y_Q)$는 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 있다. 여기서 $a, b$는 양의 상수이며, $x_P, y_P, x_Q, y_Q$는 모두 자연수이다.

네 점 $\text{O}(0,0)$, $\text{A}(x_P, 0)$, $\text{B}(x_P, y_Q)$, $\text{C}(0, y_Q)$를 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $R_1$이라 하고, 네 점 $\text{O}(0,0)$, $\text{D}(x_Q, 0)$, $\text{E}(x_Q, y_P)$, $\text{F}(0, y_P)$를 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $R_2$라 하자.

다음 조건을 모두 만족시킬 때, $a+b$의 최솟값은?

(가) 직사각형 $R_1$의 둘레에 있는 정수점의 개수는 $N_1$개이다. (나) 직사각형 $R_2$의 둘레에 있는 정수점의 개수는 $N_2$개이다. (다) $N_1 + N_2 = 100$이다. (라) 점 P와 점 Q는 서로의 x좌표와 y좌표가 바뀐 관계이다. 즉, $x_P = y_Q$ 이고 $y_P = x_Q$ 이다.