좌표평면 위 두 점과 비례 함수의 고난도 조건의 정답은?

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매우 어려움좌표평면과 그래프

좌표평면 위 두 점과 비례 함수의 고난도 조건

좌표평면의 제1사분면에 있는 두 점이 정비례 및 반비례 관계를 만족하며, 특정 기하학적, 수론적 조건을 충족할 때 두 반비례 상수의 합을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능중학교 1학년

문제

좌표평면의 제1사분면에 두 점 $A(x_1, y_1)$ 과 $B(x_2, y_2)$ 가 있으며, $x_1, y_1, x_2, y_2$ 는 모두 자연수이다.

점 $A$ 는 반비례 관계 $y = \\frac{k}{x}$ 의 그래프와 정비례 관계 $y = ax$ 의 그래프 위에 있다. 점 $B$ 는 반비례 관계 $y = \\frac{m}{x}$ 의 그래프와 정비례 관계 $y = bx$ 의 그래프 위에 있다.

다음 조건들을 모두 만족할 때, $k+m$ 의 값을 구하시오.

(가) $k$ 와 $m$ 은 서로 다른 두 자리 자연수이다. (나) $k$ 는 약수의 개수가 6개인 수이고, $m$ 은 약수의 개수가 4개인 수이다. (다) 선분 $AB$ 는 $x$ 축에 평행하다. (라) 원점 $O$ 와 점 $A$ 를 잇는 직선 $OA$ 의 기울기는 원점 $O$ 와 점 $B$ 를 잇는 직선 $OB$ 의 기울기의 $\\frac{1}{3}$ 배이다. (마) 이 모든 조건을 만족하는 $x_1, y_1, x_2, y_2$ 의 합 $x_1+y_1+x_2+y_2$ 가 최소일 때의 $k, m$ 값이다.