좌표평면 위의 비례 관계와 넓이 고난도 문제

문제

좌표평면에서 $a, b$는 양수입니다. 점 A는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 있고 $x$좌표가 $p$입니다. 점 B는 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 있고 $x$좌표가 $q$입니다. 점 C는 점 A를 원점 O에 대하여 대칭이동한 점이며, 점 D는 점 B를 원점 O에 대하여 대칭이동한 점입니다.

다음 조건을 모두 만족할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

(단, $p, q, a, b$는 모두 자연수입니다.)

조건 1: 점 A의 $y$좌표는 점 B의 $y$좌표보다 12만큼 큽니다.

조건 2: 점 B의 $x$좌표는 점 A의 $y$좌표의 $\frac{1}{3}$배입니다.

조건 3: 사각형 ADBC의 넓이는 120입니다. (사각형 ADBC의 넓이는 원점 O를 두 대각선 AC와 BD의 교점으로 하는 도형의 넓이로 계산합니다.)

조건 4: 점 A의 $x$좌표는 점 B의 $y$좌표보다 작습니다. 즉, $p < \frac{b}{q}$입니다.