세 비례 그래프 위의 정수점 직각삼각형 넓이

문제

좌표평면 위에 원점을 지나는 두 정비례 관계 $y=ax$, $y=bx$와 반비례 관계 $y=\frac{c}{x}$의 그래프가 있다. ($a, b, c$는 모두 양의 정수) 이때, 다음 조건을 모두 만족시키는 세 점 $\text{A}(x_A, y_A)$, $\text{B}(x_B, y_B)$, $\text{C}(x_C, y_C)$가 존재한다.

(가) 점 $\text{A}$는 $y=ax$ 위에, 점 $\text{B}$는 $y=bx$ 위에, 점 $\text{C}$는 $y=\frac{c}{x}$ 위에 있다. (나) 세 점 $\text{A, B, C}$는 모두 제1사분면에 있으며, 각 좌표는 모두 정수이다. (다) 선분 $\text{AB}$는 $x$축에 평행하고, 선분 $\text{BC}$는 $y$축에 평행하다. (라) 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이는 10이다.

이때, $a+b+c$의 최솟값은?