좌표평면 위의 두 그래프와 도형의 넓이 문제

문제

좌표평면의 제1사분면에 두 함수 $y=ax$와 $y=\frac{k}{x}$ (단, $a, k$는 양의 상수)의 그래프가 있습니다. 점 $A$는 $y=ax$ 그래프 위의 점이고, 점 $B$는 $y=\frac{k}{x}$ 그래프 위의 점입니다.

다음 조건을 모두 만족할 때, $a+k$의 값을 구하시오.

(가) 점 $A$의 $x$좌표는 $1$입니다. (나) 점 $A, B$의 모든 좌표 ($x_A, y_A, x_B, y_B$)는 양의 정수입니다. (다) 선분 $AB$의 기울기는 $-1$입니다. (라) 원점 $O(0,0)$, 점 $A$, 점 $B$, 그리고 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발 $B_x$로 이루어진 사다리꼴 $OAB B_x$의 넓이는 $36$입니다. (마) 선분 $AB$는 점 $(2, 10)$을 지납니다.