좌표평면 위의 직사각형과 정비례/반비례 관계

문제

좌표평면 위에 모든 변이 좌표축에 평행한 직사각형 ABCD가 있다. 점 A는 함수 $y=2x$의 그래프 위에 있고, 점 B는 함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프 위에 있으며, 점 D는 함수 $y=2x$의 그래프 위에 있다. 점 A의 x좌표는 양수이고, 직사각형 ABCD의 넓이는 24이다. 점 B의 y좌표가 점 D의 y좌표의 2배일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.