좌표평면 위의 그래프와 도형 넓이 복합 문제

문제

좌표평면에서 $x>0$인 영역에 세 개의 그래프 $y=2x$, $y=\frac{k}{x}$, $y=\frac{1}{2}x$가 있습니다. 점 $P$는 그래프 $y=2x$와 $y=\frac{k}{x}$의 교점이고, 점 $Q$는 그래프 $y=\frac{1}{2}x$와 $y=\frac{k}{x}$의 교점입니다. (단, $k$는 양의 상수입니다.)

점 $P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $P'$, 점 $Q$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $Q'$이라고 할 때, 사다리꼴 $P'PQQ'$의 넓이가 $18$입니다.

또한, 점 $A(m, n)$은 그래프 $y=\frac{k}{x}$ 위에 있는 점으로, $m$은 $x_P$ (점 $P$의 $x$좌표)보다 큰 가장 작은 양의 정수입니다. 이때, $m+n$의 값은?

(단, 점 $B(p,q)$가 $y=jx$ ($j>0$) 위에 있고, 원점 $O$와 점 $B$, 점 $Q'$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OBQ'$의 넓이가 $60$이라는 정보는 문제 풀이에 직접적으로 사용되지 않을 수 있습니다.)