좌표평면 위 비례 그래프와 사각형 넓이 활용 고난도 문제

문제

좌표평면 위에 양의 상수 $k$에 대한 반비례 관계 $y = \frac{k}{x}$의 그래프가 있습니다. 두 직비례 관계 $y=ax$ ($a>0$)와 $y=bx$ ($b>0$)의 그래프가 각각 주어져 있습니다.

1. 점 A는 반비례 그래프 $y = \frac{k}{x}$와 직비례 그래프 $y=ax$가 제1사분면에서 만나는 점입니다.
2. 점 B는 반비례 그래프 $y = \frac{k}{x}$와 직비례 그래프 $y=bx$가 제3사분면에서 만나는 점입니다.
3. 점 A의 $x$좌표를 $x_A$, 점 B의 $x$좌표를 $x_B$라 할 때, $x_A = -2x_B$가 성립합니다.
4. 점 A에서 $x$축에 내린 수선의 발을 P, 점 B에서 $x$축에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 사각형 ABQP의 넓이가 54입니다.

이때, 상수 $a$와 $b$의 비율 $\frac{b}{a}$의 값은 얼마입니까?