좌표평면 위 두 함수의 조건을 만족하는 상수 구하기

문제

주어진 좌표평면에 두 함수 $y = ax$ 와 $y = \frac{b}{x}$ 가 있습니다. ($a, b$는 양의 상수입니다.) 두 함수에 대해 다음 조건들을 만족할 때, $a+b$의 최댓값을 구하시오.

(가) $y = ax$ 그래프 위의 점 P$(x_P, y_P)$ 중, $x_P$와 $y_P$가 모두 자연수이고 $1 \le x_P \le 6$을 만족하는 점은 정확히 3개이다. (나) $y = \frac{b}{x}$ 그래프 위의 점 Q$(x_Q, y_Q)$ 중, $x_Q$와 $y_Q$가 모두 자연수인 점은 정확히 6개이다. (다) $b$는 20보다 작은 자연수이다. (라) 조건 (가)와 (나)를 만족하는 점 P와 Q가 존재하며, $y_P = x_Q$를 만족한다.