좌표평면 위 정비례/반비례 그래프와 넓이 활용 문제

문제

좌표평면 위에 $x>0$인 범위에서 정비례 관계 $y=ax$의 그래프와 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프가 그려져 있다. ($a$와 $b$는 양수) 두 그래프 위의 네 점과 원점을 이용하여 다음과 같은 도형을 그렸다.

1. 점 $P_A$는 $y=ax$의 그래프 위의 점으로, $x$좌표가 $3$이다.
2. 점 $P_B$는 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위의 점으로, $x$좌표가 $3$이다.
3. 점 $P_C$는 $y$축 위의 점으로, $y$좌표는 $P_A$의 $y$좌표와 같다.
4. 점 $P_D$는 $x$축 위의 점으로, $x$좌표는 $P_B$의 $x$좌표와 같다.

사각형 $O P_D P_A P_C$의 넓이가 $24$이고, 삼각형 $O P_A P_B$의 넓이가 $15$일 때, $a+b$의 값은? (단, $O$는 원점이다.)