좌표평면과 그래프: 숨겨진 상수를 찾아라

문제

좌표평면에서 두 함수 $y=ax$ ($a>0$)와 $y=\frac{b}{x}$ ($b>0$)의 그래프가 제1사분면에 그려져 있다. 점 $P$는 $y=ax$의 그래프 위의 점이고, 점 $Q$는 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위의 점이다. 점 $P$의 x좌표는 $k$ ($k>0$)이고, 점 $Q$의 y좌표는 $k$이다. 점 $P$에서 y축에 내린 수선의 발을 $A$, 점 $Q$에서 x축에 내린 수선의 발을 $B$라 하자.

다음 조건들이 주어져 있다.

(가) 원점 $O(0,0)$과 점 $P$, 점 $A$, 점 $(k,0)$을 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이는 27이다.

(나) 원점 $O(0,0)$과 점 $Q$, 점 $B$, 점 $(0,k)$를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이는 42이다.

(다) 삼각형 $OPB$의 넓이는 63이다.

이때, 상수 $a, b, k$의 합 $a+b+k$의 값을 구하시오.