좌표평면 위 두 점과 넓이 관계 활용

문제

좌표평면의 제1사분면에 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$가 있습니다. 점 $\text{A}$는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 있고, 점 $\text{B}$는 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위에 있습니다. (단, $a>0$, $b>0$)

점 $\text{A}$의 $x$좌표를 $p$, 점 $\text{B}$의 $x$좌표를 $p+2$라 할 때, 다음 조건이 주어졌습니다.

1. 점 $\text{A}$와 좌표축으로 둘러싸인 직사각형의 넓이는 $12$입니다.
2. 점 $\text{B}$와 좌표축으로 둘러싸인 직사각형의 넓이는 $24$입니다.
3. 점 $\text{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\text{C}$, 점 $\text{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\text{D}$라 할 때, 사각형 $\text{ACDB}$의 넓이는 $20$입니다.

이때, 상수 $a$의 값을 구하시오.