정비례와 반비례 그래프 위의 점과 넓이 관계

문제

두 상수 $a>0$, $b>0$에 대하여 정비례 관계 $y=ax$와 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프가 제1사분면에 그려져 있다.

점 $P$는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위의 점이며 제1사분면에 위치한다. 점 $Q$는 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$의 그래프 위의 점이며 제1사분면에 위치한다.

점 $P$의 $x$좌표는 점 $Q$의 $x$좌표의 2배이고, 점 $P$의 $y$좌표와 점 $Q$의 $y$좌표는 서로 같다. 점 $P$를 한 꼭짓점으로 하고, 원점 $O(0,0)$을 다른 꼭짓점으로 하며, 각 변이 $x$축 또는 $y$축에 평행한 직사각형 $R_P$의 넓이를 $S_P$라 하자. 점 $Q$를 한 꼭짓점으로 하고, 원점 $O(0,0)$을 다른 꼭짓점으로 하며, 각 변이 $x$축 또는 $y$축에 평행한 직사각형 $R_Q$의 넓이를 $S_Q$라 하자.

$S_P + S_Q = 20$일 때, 상수 $b$의 값은?