좌표평면과 그래프: 정비례, 반비례 및 대칭이동을 활용한 넓이 문제

문제

좌표평면에서 두 함수 $y=2x$ 와 $y=\frac{k}{x}$ 의 그래프가 각각 제1사분면을 지난다. (단, $k$는 상수) $y=2x$ 그래프 위의 한 점 $A(p, q)$ 와 $y=\frac{k}{x}$ 그래프 위의 한 점 $B(r, s)$ 가 다음 조건을 만족한다.

(가) 점 $A$와 점 $B$는 모두 제1사분면에 위치한다. (나) 점 $A$의 $x$좌표 $p$와 점 $B$의 $y$좌표 $s$는 서로 같다. (다) 점 $A$의 $y$좌표 $q$와 점 $B$의 $x$좌표 $r$는 서로 같다.

점 $A$를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 $C$, 점 $B$를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 $D$라 하자. 사각형 $ACBD$의 넓이가 96일 때, 상수 $k$의 값은?