좌표평면 위의 정비례와 반비례 관계 활용 문제

문제

좌표평면 위에 다음과 같은 두 그래프가 있습니다.

• 정비례 관계 $y=ax$의 그래프
• 반비례 관계 $y=\frac{k}{x}$의 그래프 (단, $x > 0$)

점 A는 정비례 관계 $y=ax$의 그래프 위에 있고, x좌표는 2입니다. 점 B는 반비례 관계 $y=\frac{k}{x}$의 그래프 위에 있고, x좌표는 6입니다.

이때 점 A와 점 B의 y좌표는 같습니다. 점 A와 점 B, 그리고 x축으로 둘러싸인 직사각형의 넓이가 16일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. (단, $a \neq 0, k \neq 0$)