정비례, 반비례 그래프와 도형의 넓이 심화 문제

문제

좌표평면에 정비례 관계 $y=ax$ ($a>0$)의 그래프와 반비례 관계 $y=\frac{b}{x}$ ($b>0$)의 그래프가 그려져 있습니다.

1. 점 P는 두 그래프의 제1사분면에서의 교점입니다. 원점 O, 점 P, 그리고 점 P에서 x축과 y축에 내린 수선의 발을 각각 $P_x$, $P_y$라고 할 때, 사각형 $OP_xPP_y$의 넓이는 24입니다.
2. 점 A는 반비례 관계 그래프 $y=\frac{b}{x}$ 위의 점이며, x좌표가 6입니다.
3. 점 B는 정비례 관계 그래프 $y=ax$ 위의 점이며, x좌표가 2입니다.
4. 점 C는 x축 위의 점이며 x좌표가 점 A의 x좌표와 같습니다.
5. 점 D는 x축 위의 점이며 x좌표가 점 B의 x좌표와 같습니다.

이때, 사각형 ADCB의 넓이가 16일 때, 상수 $a$의 값은 얼마입니까?