직각삼각형의 각 이등분선과 합동

문제

다음 그림과 같이 $\angle ABC = 90^\circ$인 직각삼각형 ABC에서 $\angle BAC$의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라고 하자. 점 D에서 변 AC에 내린 수선의 발을 E라고 할 때, 다음 중 항상 옳지 않은 것은?

(단, 그림은 생략되었으나, A는 직각삼각형의 꼭짓점, B는 직각인 꼭짓점, C는 나머지 꼭짓점을 나타내며, AD는 $\angle BAC$의 이등분선이고, DE는 AC에 수직인 선분이다.)