각의 이등분선 작도를 이용한 도형의 성질

문제

아래 그림은 $\angle XOY$의 이등분선 $OP$를 작도하는 과정 중 일부를 나타낸 것이다.

1. 점 O를 중심으로 하는 원을 그려 $\vec{OX}$, $\vec{OY}$와 만나는 점을 각각 A, B라 한다.
2. 점 A를 중심으로 반지름 $r$인 원을 그린다.
3. 점 B를 중심으로 반지름 $r$인 원을 그려 (2)에서 그린 원과 만나는 점을 P라 한다.
4. 선분 OP를 긋는다.

이 작도 과정을 이해하고, 점 P가 아닌 선분 OP 위의 임의의 한 점 Q에서 $\vec{OX}$와 $\vec{OY}$에 내린 수선의 발을 각각 R, S라고 할 때, 다음 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

(가) $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ (나) $QR = QS$ (다) $\triangle OQR \equiv \triangle OQS$ (라) $OR = OS$