정규분포의 성질과 확률변수 변환을 이용한 고난도 문제

문제

확률변수 $X$는 정규분포 $N(\mu, \sigma^2)$를 따르고, 확률밀도함수는 $f(x)$이다. 다음 조건들을 만족할 때, $P(X+Y \le 42.875)$의 값을 구하시오.

(단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고, $\Phi(z) = P(Z \le z)$이다.)

주어진 표준정규분포표의 값: $\Phi(1) = 0.8413$ $\Phi(1.5) = 0.9332$ $\Phi(2) = 0.9772$

조건: (가) $P(X \le 2) = P(X \ge 10)$ (나) 함수 $h(t) = P(X \le t) \cdot P(X \ge t+2)$의 최댓값은 $(P(Z \ge 2))^2$이다. (다) $m > 0$인 상수 $m$에 대하여 확률변수 $Y$가 $Y=mX+n$을 만족한다. 이때, $P(Y \ge 4m+0.5) = P(Z \ge 2)$이다. (라) $P(Y \le 10) = P(X \ge 8)$