공간도형의 정사영과 벡터 조건 활용 문제의 정답은?

이 문제의 정답은 3번입니다. 자세한 풀이는 Mathology에서 확인하세요.

매우 어려움공간도형과 공간좌표

공간도형의 정사영과 벡터 조건 활용 문제

구 위의 한 점과 두 평면으로의 정사영, 거리, 그리고 벡터의 수직 조건을 활용하여 구의 반지름을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

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문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$ 이고 반지름이 $R$ 인 구 $S: x^2+y^2+z^2=R^2$ 이 있습니다. 구 $S$ 위의 한 점 $P(x,y,z)$ 는 $x>0, y>0, z>0$ 을 만족합니다.

다음 조건을 만족할 때, $R^2$ 의 값을 구하시오.

(가) 점 $P$ 의 $xy$ -평면( $\alpha: z=0$ ) 위로의 정사영을 $P_1$ 이라 할 때, 선분 $PP_1$ 의 길이는 $2$ 이다. (나) 점 $P$ 의 평면 $\beta: x-y=0$ 위로의 정사영을 $P_2$ 라 할 때, 선분 $PP_2$ 의 길이는 $\sqrt{2}$ 이다. (다) 점 $Q(2,2,0)$ 에 대하여 선분 $OP_1$ 과 선분 $QP_2$ 는 서로 수직이다.