공간도형과 공간좌표: 삼각형 넓이의 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $5$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=25$가 있다. 두 점 $A(10,0,0)$과 $B(0,4,3)$을 잇는 선분 $AB$ 위의 점 $Q$에 대하여, 구 $S$ 위의 점 $P$가 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |\vec{OQ}|^2$를 만족시킨다. 삼각형 $OAP$의 넓이의 최댓값을 구하시오.