구의 정사영과 삼각형 넓이의 최댓값

문제

좌표공간에서 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $2\sqrt{5}$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=20$ 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 점 $P$를 평면 $\alpha: x+y+z=6$ 위로 정사영시킨 점을 $Q$라 하자. 두 점 $A(6,0,0)$와 $B(0,6,0)$에 대하여 삼각형 $ABQ$의 넓이의 최댓값을 구하시오.