정육면체 내 구의 대원 정사영 문제

문제

좌표공간에 한 변의 길이가 $6$인 정육면체 $OABC-DEFG$가 있다. 원점 $O(0,0,0)$이고, 점 $A(6,0,0)$, $B(0,6,0)$, $C(0,0,6)$이다. 평면 $\alpha$는 세 점 $A$, $B$, $C$를 지난다. 구 $S$의 중심 $P$는 선분 $OG$ (점 $G$는 $O$의 대각선 끝점) 위에 있고, 구 $S$는 평면 $\alpha$에 접한다. 또한 구 $S$는 선분 $AG$의 중점 $M$을 지난다. 평면 $\alpha$에 수직인 평면으로 구 $S$를 자를 때 생기는 원 중 평면 $xz$ 위로의 정사영의 넓이가 최대인 원을 $C$라 하자. 원 $C$의 평면 $xz$ 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (단, 정사영은 평면 $xz$에 수직인 방향으로 이루어진다.)