공간도형 - 구, 평면, 정사영 및 거리의 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 $C(0,0,4)$이고 반지름의 길이가 $4$인 구 $S: x^2+y^2+(z-4)^2=16$가 있다. 구 $S$ 위의 점 $P$에 대하여, 점 $P$의 $xy$-평면 위로의 정사영을 $P'$이라 하자. $OP'=\sqrt{15}$일 때, 점 $P$의 $z$-좌표는 $3$ 또는 $5$이다. 점 $P$의 $z$-좌표가 $5$라고 하자. 평면 $\alpha$는 $x$-축을 포함하고, $xy$-평면과 이루는 예각의 크기가 $\frac{\pi}{3}$이다. 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $Q$라 할 때, 점 $C$에서 직선 $PQ$에 이르는 거리의 최댓값을 구하시오.