구와 평면의 교선 정사영 최댓값 문제

문제

좌표공간에 구 $S: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 9$ 와 두 평면 $\alpha: x+y+z=4$, $\beta: y=0$ 이 있다. 구 $S$와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $P$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영을 $P'$이라 할 때, 점 $A(2,0,0)$ 과 점 $P'$ 사이의 거리 $AP'$의 최댓값은?