공간도형에서의 구와 정사영 넓이 문제

문제

좌표공간에 세 점 $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(0,3,0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$가 있다. 점 $P(x,y,z)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $P$에서 $xy$-평면에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 점 $H$는 선분 $AB$ 위에 있고 $\overline{PH} = \overline{HA}$이다. (나) 세 점 $A, C, P$를 지나는 구 $S$의 중심은 평면 $y=x$ 위에 있다. (다) 구 $S$ 위의 점 $P$에서의 접평면 $\beta$는 $x$축에 평행하다.

삼각형 $ABC$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.