구 위의 점과 평면, 벡터 조건을 활용한 삼각형의 넓이 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $3$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=9$가 있다. 구 $S$ 위의 두 점 $A, B$에 대하여 다음 조건이 성립한다.

(가) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{9}{2}$ (나) 점 $A$에서 $xy$-평면까지의 거리는 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$이다. (다) 세 점 $O, A, B$를 포함하는 평면이 $xy$-평면과 이루는 예각의 크기는 $\frac{\pi}{3}$이다.

구 $S$ 위의 임의의 점 $P$에 대하여 삼각형 $ABP$의 넓이의 최댓값은?