공간도형의 정사영 넓이의 최댓값 문제

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $3$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=9$가 있다. 두 점 $A(3,0,0)$과 $B(0,3,0)$은 구 $S$ 위의 점이다. 구 $S$가 평면 $z=1$과 만나서 생기는 원을 $C$라 하고, 점 $P$는 원 $C$ 위를 움직이는 점이다. 평면 $\alpha$의 방정식이 $x-y+\sqrt{2}z=0$일 때, 삼각형 $ABP$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은?