정사면체와 구 위 점의 평면 위 투영 거리 최댓값의 정답은?

이 문제의 정답은 3번입니다. 자세한 풀이는 Mathology에서 확인하세요.

어려움공간도형과 공간좌표

정사면체와 구 위 점의 평면 위 투영 거리 최댓값

정사면체와 구, 특정 평면이 주어졌을 때 구 위 점의 평면 위 투영점과 원점 투영점 사이 거리의 최댓값을 구하는 고난도 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

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문제

좌표공간에 한 모서리의 길이가 $6$ 인 정사면체 $ABCD$ 가 있다. 세 점 $A$ , $B$ , $C$ 는 $xy$ -평면 위에 있고, 삼각형 $ABC$ 의 무게중심은 원점 $O(0,0,0)$ 이다. 점 $D$ 는 $z$ 축 위에 있으며 $z$ 좌표가 양수이다. 정사면체 $ABCD$ 의 모든 꼭짓점을 지나는 구 $S$ 위에 한 점 $P$ 가 있다.

평면 $\alpha$ 는 세 점 $A$ , $B$ , $D$ 를 포함한다. 점 $P$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $P'$ 이라 하고, 원점 $O$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $H$ 라 할 때, 선분 $P'H$ 의 길이의 최댓값을 구하시오.