공간도형 - 평면의 교선과 구의 그림자

문제

좌표공간에 두 평면 $\alpha$와 $\beta$가 있다. 두 평면 $\alpha, \beta$는 직선 $l$에서 만나며, 두 평면이 이루는 이면각의 크기는 $60^\circ$이다. 직선 $l$ 위의 한 점을 $A$라 하자. 점 $B$는 평면 $\alpha$ 위에 있고 $AB=4$이며 선분 $AB$는 직선 $l$에 수직이다. 점 $C$는 평면 $\beta$ 위에 있고 $AC=4$이며 선분 $AC$는 직선 $l$에 수직이다. 중심이 $B$이고 반지름의 길이가 $4$인 구 $S$가 있다. 점 $C$를 지나고 직선 $l$에 평행한 평면을 $\gamma$라 하자. 구 $S$가 평면 $\gamma$와 만나서 생기는 원을 $\mathcal{C}$라 할 때, 원 $\mathcal{C}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 넓이의 최댓값은?