구 위의 정삼각형의 정사영

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$인 구 $S: x^2+y^2+z^2 = R^2$가 있다. 구 $S$ 위에 한 변의 길이가 $3\sqrt{3}$인 정삼각형 $ABC$가 놓여 있다. 점 $A$의 좌표는 $(R, 0, 0)$이다. 평면 $\alpha$는 $xy$-평면($z=0$)이다. 정삼각형 $ABC$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $A'B'C'$는 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형이다. 구 $S$의 반지름 $R$의 값을 구하시오.