구와 평면, 그리고 정사영을 이용한 거리 최댓값 문제

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $5$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=25$가 있다. 평면 $z=4$가 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 점 $A(0,0,10)$과 원 $C$ 위를 움직이는 점 $P$에 대하여, 점 $P$의 평면 $\alpha: x-y=0$ 위로의 정사영을 $P'$이라 할 때, 선분 $AP'$의 길이의 최댓값을 구하시오.