구와 두 평면, 정삼각형의 정사영 넓이

문제

좌표공간에서 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $3$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=9$가 있다. 평면 $\alpha$는 점 $A(1,2,1)$을 지나고 벡터 $\vec{u}=(1,2,1)$에 수직이다. 평면 $\alpha$와 구 $S$가 만나서 생기는 원을 $C_1$이라 하고, 원 $C_1$에 내접하는 정삼각형의 넓이를 $S_1$이라 하자.

다른 평면 $\beta$는 점 $B(3,0,0)$을 지나고 벡터 $\vec{v}=(1,1,1)$에 수직이다. 이때, 정삼각형의 평면 $\beta$ 위로의 정사영 넓이는?