구와 평면의 교선 위 점의 정사영이 만드는 삼각형의 넓이 최댓값

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $10$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=100$이 있다. 평면 $\alpha: x+y+z=12$가 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $P$가 있고, 점 $P$의 $xy$-평면 위로의 정사영을 $P'$이라 하자. 점 $A(10,0,0)$에 대하여 삼각형 $AP'O$의 넓이가 최대일 때, 그 최댓값을 구하시오.