공간도형과 공간좌표: 삼각형의 정사영 넓이

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $5$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=25$가 있다. 구 $S$ 위의 한 점 $P(x_P, y_P, z_P)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $P$는 제1팔분공간($x_P \ge 0, y_P \ge 0, z_P \ge 0$)에 존재한다. (나) 점 $P$에서 $xy$-평면까지의 거리는 $3$이다. (다) 벡터 $\vec{OP}$가 $xz$-평면과 이루는 예각의 크기는 $\frac{\pi}{6}$이다.

삼각형 $OAP$를 평면 $x+y+z=0$ 위로 정사영시킨 넓이를 $S'$이라 할 때, $S'$의 값은? (단, 점 $A$는 $(5,0,0)$이다.)