공간도형과 정사영의 최대 길이

문제

좌표공간에 점 $\mathrm{A}(2, 0, 0)$과 평면 $\alpha: x+y-z=0$이 있다. 점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{C}(2, 2, 2)$이고 반지름의 길이가 $1$인 구 $S: (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 1$ 위를 움직인다. 점 $\mathrm{A}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\mathrm{A'}$, 점 $\mathrm{P}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\mathrm{P'}$이라 하자. $\vec{\mathrm{AP}}$가 평면 $x-y+z=0$에 평행할 때, 선분 $\mathrm{A'P'}$의 길이의 최댓값은?