공간도형: 정육면체 위의 점과 평면의 투영

문제

좌표공간에 한 변의 길이가 $1$인 정육면체 $ABCDEFGH$가 있다. 원점을 $A(0,0,0)$으로 하고, 각 꼭짓점의 좌표는 $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$, $G(1,1,1)$, $H(0,1,1)$로 주어진다. 세 점 $P, Q, R$은 각각 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 $P$는 모서리 $BF$ 위에 있다. (나) 점 $Q$는 모서리 $CD$ 위에 있다. (다) 점 $R$은 모서리 $EH$ 위에 있다. (라) 선분 $PQ$는 평면 $x+y-z=0$에 평행하다. (마) 삼각형 $PQR$을 평면 $x-y+z=0$ 위로 정사영시킨 도형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{12}$이다.

이때, 정육면체의 꼭짓점 중 평면 $PQR$로부터의 거리가 최대인 꼭짓점과 평면 $PQR$ 사이의 거리를 구하시오.