정삼각기둥에서의 정사영 넓이 계산

문제

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 6인 정삼각기둥 $\mathrm{ABC-DEF}$가 있다. 점 $\mathrm{A}$는 원점 $(0,0,0)$에, 변 $\mathrm{AB}$는 $x$축 위에 놓여 있으며, 점 $\mathrm{C}$는 $xy$평면의 $y>0$인 영역에 있다. 즉, 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다: $\mathrm{A}(0,0,0)$, $\mathrm{B}(6,0,0)$, $\mathrm{C}(3, 3\sqrt{3}, 0)$ $\mathrm{D}(0,0,6)$, $\mathrm{E}(6,0,6)$, $\mathrm{F}(3, 3\sqrt{3}, 6)$ 점 $\mathrm{M}$은 변 $\mathrm{BC}$의 중점이다. 점 $\mathrm{N}$은 변 $\mathrm{EF}$를 $2:1$로 내분하는 점이다. 평면 $\mathcal{P}$는 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$을 포함한다. 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 평면 $\mathcal{P}$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$라 할 때, $37S^2$의 값을 구하시오.