공간 도형의 정사영 넓이 계산

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 $S: x^2+y^2+z^2=4$가 있다. 평면 $\alpha$는 구 $S$에 접하고 점 $N(0,0,2)$를 지나는 평면이다. 평면 $\alpha$ 위에 세 점 $P(2,0,2)$, $Q(0,2,2)$, $R(0,0,2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PQR$이 있다. 원점 $O$와 두 점 $P$, $Q$를 지나는 평면을 $\beta$라고 할 때, 삼각형 $PQR$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.