구 위의 삼각형 정사영 넓이 구하기

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $4$인 구 $S$가 있다. 구 $S$ 위의 세 점 $A, B, C$에 대하여 선분 $AB$의 길이는 $4\sqrt{2}$, 선분 $BC$의 길이는 $4\sqrt{3}$, 선분 $CA$의 길이는 $4$이다. 선분 $AC$의 중점을 $M$이라 하자. 원점 $O$와 두 점 $B, M$을 지나는 평면을 $\alpha$라 할 때, 삼각형 $ABC$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는?