구 위의 점과 수선의 발이 만드는 삼각형 넓이 활용

문제

좌표공간에 중심이 원점 $O(0,0,0)$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 $S$가 있다. 구 $S$ 위의 점 $P(x,y,z)$에 대하여, 점 $P$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $H_1$, $yz$평면에 내린 수선의 발을 $H_2$라 하자. 점 $A(2,0,0)$가 주어졌을 때, $\triangle PH_1H_2$의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 $P$에 대하여, 선분 $\overline{PA}$의 길이의 최솟값은?