두 평면의 교선과 원 위의 점의 정사영

문제

평면 $\alpha$와 평면 $\beta$는 이면각이 $\frac{\pi}{3}$인 두 평면이며, 교선은 $l$이다. 평면 $\alpha$ 위에 중심이 $A$이고 반지름의 길이가 2인 원이 있다. 점 $A$에서 교선 $l$까지의 거리는 $4\sqrt{3}$이다. 이 원 위의 점 $P$에 대하여, 점 $P$와 점 $P$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영 $P'$, 그리고 교선 $l$에 있는 $P$의 수선의 발 $H$가 이루는 삼각형 $PHP'$의 넓이의 최댓값을 구하시오.